PENGGUNAAN TURUNAN DALAM KALKULUS

PENGGUNAAN TURUNAN DALAM KALKULUS

Bab yang akan dijelaskan dalam bab penggunaan turunan, antara lain :

1. Maksimum dan Minimum

2. Kemonotonan dan kecekungan

3. Maksimum dan minimum lokal

4. Lebih banyak masalah maksimum-minimum

5. Penerapan ekonomi

6. Limit di ke takhinggaan, limit tak terhingga

7. Penggambaran grafik canggih

8. Teorema nilai rata-rata

Penggunaan turunan dalam bidang kalkulus tentu saja tidak terlepas dari Ilmuan besar dunia Isaac Newton. Beliau lahir di Inggris pada tahun 1642, Isaac newton sebagai remaja sedikit menunjukan rasa ketertarikannya terhadap akademis, Dia lebih menyukai membuat roda air, dan berbagai macam perkakas lainnya, namun pamannya mengenali bakat luar biasa Isaac pada saat itu, kemudian ibunya pun mengirimnya ke Trinity College dari universitas Cambrige.

Setelah sesaat di wisuda dari Trinity, newton pergi pulang untuk menghindari wabah penyakit pes 1664-1665 selama 18 bulan, dan sejak januari 1665 dia mulai mendalami matematika dan ilmu yang terkemuka, Dalam waktu yang singkat Newton berhasil menemukan teorema binomial umum, elemen dari kalkulus diferensial maupun integral, teori warna-warni, dan hukum gravitasi universal.

Lalu newton pun meninggal sebagai seorang yang terhormat pada usia 85 dan di makamkan Westminster Abbey.

Sub bab 1

Maksimum dan Minimum

Penggunaan konsep ini sering sekali di lakukan dalam kehidupan sehari-hari untuk memaksimalkan dan meminimumkan fungsi tertentu, sehingga bila demikian metode kalkulus menyediakan sarana yang ampuh untuk memecahkan masalah seperti itu

Andaikan kita mengetahui fungsi f dan domain ( daerah asal ) S Apakah f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S.

Anggap bahwa nilai-nilai tersebut ada. Kita ingin mengetahui lebih lanjut dimana S nilai-nilai itu berada. Akhirnya kita dapat menentukan nilai-nilai maksimum atau minimum.

Definisi :

 Andaikan S, daerah asal f , memuat titik c. Kita katakan bahwa :

I. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c ) ≥ f(x) untuk semua x di S;

II. f(c ) adalah nilai minimum f pada S jika f(c ) ≤ f(x) untuk semua x di S;

III. f(x) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum

dan untuk mengetahui apakah suatu f mempunyai nilai maksimum ataupun minimum pada S, terdapat suatu teorema yang bagus untuk mengetahuinya, walaupun bukti yang teliti sangat sukar,

TEOREMA A :

(Teorema eksistensi Maks-min), jika f continue pada selang tertutup (a,b), maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.

Perhatikan kata kunci : f harus kontinu dan himpunan S harus berupa selang tertutup

Untuk mengetahui dimana terjadinya nilai-nilai ekstrim, biasanya fungsi yang ingin di maksimumkan, atau diminimumkan akan mempunyai suatu selang I sebagai daerah asalnya, tetpi selang tersebut boleh berupa sembarang tipe. Beberapa dari selang ini memuat titik-titik ujung; beberapa tidak. Misalnya , I = (a.b) memuat titik ujung keduanya; (a,b) hanya memuat titik ujung kiri; (a,b) tidak memuat titik ujung satupun.

Dan nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung ( lihat gambar 1 ) 

Jika c sebuah titik pada mana f’(c) = 0 , kita sebut c titik stasioner . namun itu diturunkan dari fakta bahwa pada titik stasioner , grafik f mendatar , karena garis singgung mendatar .nilai-nilai ekstrim seringkali terjadi pada titik stasioner (perhatikan gambar 2)

Dan jika c adalah titik dalam dari I dimana f’ tidak ada , kita sebut c titik singular. Nilai-nilai ekstrim dapat terjadi di titik singular (lihat gambar 3)

Ketiga jenis titik ini (titik ujung, titik stasioner, dan titik singular ) merupakan titik-titk kunci dari teori maks-min. sebarang titik dalam daerah asal fungsi f yang termasuk salah satu dari tipe ini disebut sebuah titik kritis.

TEOREMA B :

(teorema titik kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f(c) adalah titik ekstrim , maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu :

I. Titik ujung dari I ;

II. Titik stasioner dari f(f’( c ) = 0 ) ;

III. Titik singular dari f(f’( c ) tidak ada ).

Mengingat teorema A dan B untuk menghitung nilai maksimum dan minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I

Langkah 1 ; carilah titik-titik kritis dari f pada I

Langkah 2 ; hitunglah f pada setiap titik kritis, yang terbesar adalah nilai maksimum yang terkecil adalah nilai minimum.

Contoh soal : Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x) = -3x³ + x³ pada [-1,2]

Penyelesaiannya ;

Sub bab 2

Kemonotonan dan kecekungan

Definisi :

Andaikan f terdefinisi pada selang I ( terbuka, tertutup, atau tak satupun ). Kita katakan bahwa:

I. F adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x₁ dan x₂ dalam I,

X₁ <>2 = f(x₁) <>2)

II. F adalah turunan pada I jika setiap pasang bilangan x₁ dan x₂dalam I,

X₁ <>2 = f(x₁) > f(x₂)

III. F monoton murni pada I jika ia naik pada I atauturun pada I.

TURUNAN PERTAMA DAN KEMONOTONAN

Jika kita ingat kembali bahwa turunan pertama f’(x) memberi kemiringan dari garis singgung pada grafik f di titik x. kemudian jika f’(x) > 0, garis singgung naik ke kanan ( lihat gambar 2), serupa , jika f’(x) <>

TEOREMA A

(teorema kemonotonan). Andaikan f continue pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I,

I. Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I , maka f naik pada I.

II. Jika f’(x)<0>

TURUNAN KEDUA DAN KECEKUNGAN

Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang sangat bergoyang ( gambar 4 ). Jika garis singgung berliku dengan tetap berlawanan arah jarum jam , kita katakana bahwa grafik cekung ke atas , jika garis berliku searah jarum jam, maka grafik cekung ke bawah. Kedua definisi lebih baik dinyatakan dalam istilah fungsi dan turunannya.

  

Definisi

Andaikan f terdefinisi pada selang terbuka I = (a,b). jika f’ naik pada I, f (dan grafiknya) cekung ke atas disana; jika f’ turun pada I, f cekung ke bawah pada I

Diagram dalam gambar 5 berikut akan membantu dalam memperjelas gagasan ini.

TEOREMA B

(teorema kecekungan ), andaikan f terdefinisial dua kali pada selang terbuka (a,b).

I. Jika f” (x) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b).

II. Jika f” (x) <>

TITIK BALIK

Untuk mencari titik balik kita dapat memisalkan f continue di c. kita sebut (c, f(x) )suatu titik balik dari grafik f jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam gambar 6 berikut menunjukan sejumlah kemungkinan.

Contoh soal :

Jika f(x) = 3x³ – 9x² – 27x+ 1, cari dimana f naik dan dimana turun .

Penyelesaiannya :

Kita mulai dengan mencari turunan f. f’(x) = 9x² – 18x – 27 = 9(x+1)(x-3)

Kita perlu menentukan dimana (x+1)(x-3) > 0 dan juga dimana (x+1)(x-3)<0, 

Sub bab 3

Maksimum dan minimum lokal

Jika ada suatu fungsi f pada himpunan S adalah nilai f terbesar yang di capai pada keseluruhan himpunan S, kadang itu semua di acu sebagai nilai maksimum global , jadi untuk fungsi f dengan daerah asal S = (a,b) adalah nilai maksimum global, sedangkan f(c ) kita sebut sebagai suatu nilai maksimum lokal terlihat seperti gambar 1 

Dan tentu saja nilai maksimum global otomatis juga nilai maksimum lokal, terlihat pada gambar 2.

Berikut definisi formal dari maksimum lokal dan minimum lokal

Definisi

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakan bahwa ;

I. F(c ) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c ) adalah nilai maksimum f pada (a,b) Π S;

II. F(c ) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a, b) Π S;

III. F(c ) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal

Lalu dimana nilai-nilai ekstrim terjadi kita dapat melihat gambar 3.

TEOREMA A

(uji turunan pertama untuk ekstrim lokal) .Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.

I. Jika f’ (x) > 0 untuk semua x dalam (a,b) dan f’( x) <>

II. Jika f’ (x) <>

III. Jika f’ (x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c ) bukan nilai ekstrim lokal f.

Terdapat uji lain untuk maksimum dan minimum lokal yang kadang-kadang lebih mudah diterapkan.

TEOREMA B

(uji turunan kedua untuk Ekstrim lokal ). Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c ) = 0.

I. Jika f” (c ) <>

II. Jika f” (c ) > 0. F(c ) adalah nilai minimum lokal f.

Contoh soal :

Carilah nilai ekstrim local dari fungsi f(x) = x² – 10x + 9 pada ( - ∞ ,∞ )

Penyelesaiannya :

F’(x) = 2x – 10 , ada untuk semua x, jadi satu-satunya titik kritis untuk f adadlah penyelesaiannya

tunggal dari f(x) = 0 yakni x = 5. Kerena f’(x) = 2(x-5) <> 0 untuk x> 5, f naik pada [5,∞ ), lalu f(5)

sebagai satu-atunya titik tidak kritis maka f(5) = -16

Sub bab 4

Lebih banyak masalah maks-min

Untuk menyelesaikan setiap masalah maks-min di sarankan melakukan cara dengan sebuah metode , jangan asal dalam menyelesaikannya sehingga melupakan setiap langkah-langkah pengerjaannya, adapun metode tersebut :

Langkah 1 buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variable-variabel yang sesuai untuk besaran-besaran kunci.

Langkah 2 tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan ( diminimumkan ) dalam bentuk variable-variabel tersebut.

Langkah 3 gunakan kondisi-kondisi masalah untukmenghilangkan semua kecuali satu dari variable-variabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari satu variable, misalnya x.

Langkah 4 tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang.

Langkah 5 tentukan titik-titik kritis( titik ujung, titik stasioner, titik singular ). Paling sering, titik-titik kritis kuknci beruap titik-titik stasioner di mana dQ/dx = 0

Langkah 6 gunakan teori untuk memutuskan mana yang maksimum atau minimum

Contoh soal ;

Ada sebuah surat undangan memuat 100 cm persegi bahan cetak, jalur bebas cetak di atas dan di bawah 8 cm serta di samping kanan dan kirinya 6 cm, lalu berapa ukuran surat undangan tersebut yang memerlukan kertas sesedikit mungkin

Penyelesaiannya ;

Andaikan surat undangan tersebut mempunyai lebar x dan tinggi y luasnya adalah

A =xy.

Kita akan mencari persamaan yang mengaitkan x dan y sehinga salah satu dari variable ini dapat dihilangkan dari ungkapan A, ukuran bahan adalah x-12dan y-16 dan luasnya adalah 100 cm persegi, sehingga (x-12)(y-16) = 100, lalu kita peroleh

Y = (100/(x-16)) + 12 dengan penggantian ungkapan ini untuk dalam A=xy memberikan

A = (100x/(x-16)) + 12x

Nilai-nilai x yang dibolehkan adalah 16 <>

Sekarang

dA/dx =[ ((x-16)100 – 100x )/ (x-16)² ]+12 = (12x2 – 384x + 1472 ) / ( x-16)²

titik-titik kritis hanya diperoleh dengan menyelesaikan dA/dx = 0; ini menghasilkan x = 29,1 dan x = 2,81, lalu kita tolak x = 2,81 karena tidak masuk dalam selang (16,∞ ). Karena dA/dx <> 0 untuk x dalam 29,1 , ∞) kita simpulkan bahwa A mencapai nilai minimumnya pada x = 29,1 nilai ini membuat y = 19,6 sehingga ukuran surat undangannya yang akan memakai kertas paling sedikit adalah 29,1 cm kali 19,6 cm.

Sub bab 5

Penerapan ekonomik

Dalam mempelajari lebih banyak masalah ekonomi sebenarnya kita mengunakan konsep kalkulus, misalkan dalam sutu perusahan, PT Tirta, jika PT tirta menjual x satuan barang tahun ini, PT tersebut akan mampu membebankan harga , P(x) untuk setiap satuan, kita tunjukan bahwa p tergantung pada x, pendapatan total yang diharapkan PT tersebut diberikan oleh R(x) = xp(x) ; banyak satuan kali harga tiap satuan.

Untuk memproduksi dan memasarkan x satuan, PT Tirta akan mempunyai biaya total C(x). ini biasanya jumlah dari biaya tetap ditambah biaya variable. Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni selisih antara pendapatan dan biaya.

P(x) = R(x) – C(x) + xp(x) – C(x)

Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memksimumkan total labanya.

Pada dasarnya suatu produk akan berupa satuan-satuan diskrit, jadi R(x), C(x) dan P(x) pada umumnya di definisikan hanya untuk x = 0,1,2,…. Dan sebagai akibatnya, grafiknya akan terdiri dari titik-titik diskrit, agar kita dapat mempergunakan kalkulus, lalu titik-titik tersebut kita hubungkan sehingga membentuk suatu kurva, dengan demikian R, C, P dapat dianggap sebagai fungsi yang dapat dideferensialkan.

Penggunaan kata marjinal

Andaikan PT Tirta mengetahui fungsi biaya C(x) dan untuk sementara direncanakan memproduksi 2000 satuan tahun ini. Tirta ingin menetapkan biaya tambahan tiap tahun.

Jika fungsi biaya adalah seperti pada gambar 1 , direktur akan menanyakan nilai ∆ C / ∆ X pada saat ∆ X = 1, tetapi kita mengharapkan bhawa ini akan sangat dekat terhadap nilai

Lim_∆x→0 ∆C /∆x

 Pada saat x = 2000, ini disebut biaya marginal, kita mengenalnya sebagai dC/dx, turunan C terhadap x, dengan demikian kita definisikan harga marginal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal dR/dx, dan keuntungan marginal sebagai dP/dx

Contoh soal :

Andaikan C(x) = 7200 + 2x + 40 x² rupiah, cari rata-rata tiap satuan dan biaya marginal dan hitung mereka bilamana x = 5000.

Penyelesaian.

BIaya rata-rata : C(x) / x = 7200 + 2x + 40x² / x

Biaya marjinal : dC / dx = 2 + 80x

Jadi Pada x = 5000, rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp. 200003,44 danrata-rata biaya marjinal adalah Rp. 400002

Sub bab 6

Limit di ketakhinggaan, limit tak terhingga

Definisi-definisi cermat limit bila x → ± ∞. Dalam analogi dengan definisi, kita untuk limit-limit biasa, kita membuat definisi berikut.

Definisi

(limit bila x → ∞ ). Andaoikan f terdefinisikan pada [c, ∞) untuk suatu bilangan c, kita katakan bahwa lim _x→∞  f(x) = L jika untuk masing-masing Є> 0, terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga.

X > M → |f (x) – L |< Є

Anda akan memperhatikan bahwa M dapat tergantung pada Є , umumnya, semakin kecil Є, maka M harus semakin besar. Grafik pada gambar 1 akan membantu memahaminya.

Definisi

( limit bila x → - ∞ ). Andaikan f terdefinisi pada ( - ∞, c ] untuk suatu bilangan c kita dapat katakan bahwa lim _{x→- ∞} f(x) = L jika untuk masing-masing Є > 0, terdapat suatu bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga.

X <>

Definisi

( limit-limit tak-terhingga ). Kita katakan bahwa lim _x→c+ f(x) = ∞ jika untuk tiap bilangan positif M , berpadanan suatu δ > 0 sedemikian sehingga

0 <> M

Hubungan terhadap asimtot

Garis x = c adalah asimtot vertical dari grafik y = f(x) misalkan garis x = 1 adalah asimtot tegak, sama halnya garis-garis x=2 dan x=3 adalah asimtot vertical, dalam nafas yang serupa, garis y=b adalah asimtot horizontal dari grafik y = f(x) jika

lim _x→∞ f(x) = b atau lim _{x→- ∞} f(x) = b

Garis y = 0 adalah asimtot.

contoh soal :

cari limit _{x→ ∞} ( 4x² – 6x + 8 ) / ( 7 + x – 2x² )

= limit _{x→ ∞} (4x²/x² – 6x/x² + 8/x² ) / ( 7/x² + x/x² – 2x²/ x² )

= limit _{x→ ∞} ( 4 – 6/x + 8/x² ) / ( 7/x² + 1/x – 2)

= (4-0+0) / (0+0-2) = -2

Sub bab 7

Penggambaran grafik canggih

Kalkulus dapat menganalisis struktur grafik secara baik, dapat menempatkan titik-titik maksimum local, titik-titik minimum local dan titik-titik balik, kita dapat menentukan secara persis dimana grafik naik atau dimana sekung ke atas,

POLINOM : polinom derajat 1 atau 2 jelas untuk diganbar grafiknya, yang berderajat 50 hampir mustahil, jika derajatnya cukup ukurannya, misalnya 3 sampai 6 kita dapat memakai alat-alat dari kalkulus dengan manfaat besar.

FUGSI RASIONAL: fungsi rasional merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, lebih rumit untuk di grafikkan di banding polinom, khususnya kita dapat mengharapkan perilaku yang dramatis dimanapun penyebut nol.

Dalam menggambar grafik canggih , tidak terdapat pengganti untuk akal sehat, tetapi , dalam banyak hal prosedur berikut sangat membantu.

Langkah 1. Buat analisa pendahuluan sebagai berikut;

1. Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang di kecualikan

2. Uji kesimetrisannya terhadap sumbu y dan titik asal. ( apakah fungsi genap atau ganjil )

3. Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu kordinat.

4. Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun

5. Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum lokal

6. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah dan untuk melokasikan ttik-titik balik.

7. Cari asimtot-asimtot.

Langkah 2 Gambarkan beberapa titik ( termsuk semua titik kritis dan titik balik )

Langkah 3 Sketsa grafik

Contoh soal:

Sketsakan fungi g(x) = 6x/(x2+4)

Penyelesaiannya:

Dengan menetapkan f(x) = 0 ,kita temukan perpotongan sumbu x adalan 0 dan 0 , lalu karena ni merupakan fungsi ganjil maka kita dapat menyatakan bahwa grafik tersebut simetris terhadap titik asal,

Dan jika kita diferensialkan maka kita peroleh

F’(x) = 6/(x2+4)